Ευαισθησία και ειδικότητα

Λοιπόν, το σκέφτομαι μερικές μέρες τώρα, το πήρα απόφαση, και το γράφω αυτό το σεντόνι. Ελπίζω να είναι κατανοητό σε όσους ενδιαφέρονται. Αν κάποιος βιάζεται, ας πάει κατευθείαν στους δύο τελευταίους πίνακες.

Έστω Α το ενδεχόμενο κάποιο μέλος ενός πληθυσμού -της πόλης, της χώρας, διάλεξε ό,τι θες- να είναι φορέας του κορονοϊού. Αν έχουμε την εκτίμηση, ή πληροφορία, για το ποσοστό του πληθυσμού που είναι φορείς του ιού, τότε αυτό αποτελεί την αρχική, εκ των προτέρωνa priori στο πιο επιστημονικο-λατινικο-κυριλέ- πιθανότητα ένα οποιοδήποτε μέλος του πληθυσμού να είναι φορέας του ιού. Αυτήν την πιθανότητα την συμβολίζουμε P(Α).

Με Α΄ συμβολίζουμε το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α, δηλαδή το ενδεχόμενο κάποιο μέλος ενός πληθυσμού να μην είναι φορέας του κορονοϊού, οπότε η αντίστοιχη πιθανότητα θα είναι P(Α΄).  

Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ή εκτιμούμε ότι 2% του πληθυσμού είναι φορείς, τότε, ελλείψει οποιασδήποτε άλλης γνώσης, οποιοδήποτε μέλος του έχει πιθανότητα P(Α)=0,02 να είναι φορέας, και P(Α΄)=0,98 (100%-2%) να μην είναι.

Αυτές τις εκ των προτέρων πιθανότητες είναι που θέλουμε όσο το δυνατόν να αποκλείσουμε ή να μετατρέψουμε σε βεβαιότητες, και για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε περισσότερη πληροφορία, από κάποιο άλλο ενδεχόμενο, ανεξάρτητο από το Α. Το σελφ τεστ, οποιοδήποτε τεστ, μπορεί να προσφέρει τέτοια πληροφορία.

Ας ονομάσουμε, λοιπόν, Β το ενδεχόμενο το σελφ τεστ που κάνει κάποιος να βγει θετικό. Αντίστοιχα με τα παραπάνω, Β΄ θα είναι το ενδεχόμενο το σελφ τεστ που κάνει κάποιος να βγει αρνητικό, ενώ P(Β) και P(Β΄) θα είναι οι πιθανότητες ενός θετικού τεστ και ενός αρνητικού τεστ, αντίστοιχα.

Ονομάζουμε δεσμευμένη πιθανότητα του ενδεχόμενου Α, δοθέντος του ενδεχόμενου Β, και την συμβολίζουμε P(Α|Β), την πιθανότητα του ενδεχόμενου Α, έχοντας ως δεδομένο το γεγονός Β. Αυτή η πιθανότητα, η P(Α|Β), ονομάζεται και εκ των υστέρων πιθανότητα, a posteriori στο πιο κυριλέ.

Οπότε, στο παράδειγμά μας:

  • P(Α|Β) αποτελεί την πιθανότητα κάποιος με θετικό σελφ τεστ (Β) να είναι φορέας (Α),
  • P(Α΄|Β΄) αποτελεί την πιθανότητα κάποιος με αρνητικό σελφ τεστ (Β΄) να μην είναι φορέας (Α΄),
  • P(Α΄|Β) αποτελεί την πιθανότητα κάποιος με θετικό σελφ τεστ (Β) να μην είναι φορέας (Α΄),
  • P(Α|Β΄) αποτελεί την πιθανότητα κάποιος με αρνητικό σελφ τεστ (Β΄) να είναι φορέας (Α).

Η πρώτη πιθανότητα, P(Α|Β), ονομάζεται διεθνώς Positive Predictive Value (PPV), ενώ η δεύτερη, P(Α΄|Β΄), ονομάζεται διεθνώς Negative Predictive Value (NPV). Οι δύο αυτές τιμές είναι που μας υποδεικνύουν την εμπιστοσύνη που μπορούμε να έχουμε στο αντίστοιχο αποτέλεσμα ενός σελφ τεστ.

Ακόμη, είναι προφανές ότι, αφού τα ενδεχόμενα Α και Α΄ είναι ξένα και συμπληρωματικά μεταξύ τους, θα ισχύει ότι P(Α|Β) + P(Α΄|Β) = 1, και ότι P(Α΄|Β΄) + P(Α|Β΄) = 1.

Ακόμη,

  1. P(Β|Α) αποτελεί την πιθανότητα θετικού σελφ τεστ (Β) για έναν φορέα (Α),
  2. P(Β΄|Α) αποτελεί την πιθανότητα αρνητικού σελφ τεστ (Β΄) για έναν φορέα (Α),
  3. P(Β΄|Α΄) αποτελεί την πιθανότητα αρνητικού σελφ τεστ (Β΄) για έναν μη φορέα (Α΄),
  4. P(Β|Α΄) αποτελεί την πιθανότητα θετικού σελφ τεστ (Β) για έναν μη φορέα (Α΄).

Είναι επίσης προφανές ότι αφού τα ενδεχόμενα Β και Β΄ είναι ξένα και συμπληρωματικά μεταξύ τους, θα ισχύει ότι P(Β|Α) + P(Β΄|Α) = 1, και ότι P(Β΄|Α΄) + P(Β|Α΄) = 1.

Η πιθανότητα P(Β|Α) στο (1) ονομάζεται διεθνώς test sensitivity, ευαισθησία του τεστ στα ελληνικά, και είναι το ποσοστό αληθινών -έγκυρων- θετικών τεστ, ή αλλιώς των True Positives, σε φορείς. Για παράδειγμα, αν 100 επιβεβαιωμένοι φορείς κάνουν το τεστ και βγουν θετικοί οι 92, τότε η ευαισθησία του τεστ είναι 0,92 ή 92%.

Η πιθανότητα P(Β΄|Α) στο (2) αποτελεί το ποσοστό ψευδών -άκυρων- αρνητικών τεστ, ή αλλιώς των False Negatives, σε φορείς. Για παράδειγμα, αν 100 επιβεβαιωμένοι φορείς κάνουν το τεστ και βγουν αρνητικοί οι 8, τότε η πιθανότητα False Negatives είναι 0,08 ή 8%.

Η πιθανότητα P(Β΄|Α΄) στο (3) ονομάζεται διεθνώς test specificity, ειδικότητα του τεστ στα ελληνικά (συναντιέται και ως διακριτότητα), και είναι το ποσοστό αληθινών -έγκυρων- αρνητικών τεστ, ή  αλλιώς των True Negatives, σε μη φορείς. Για παράδειγμα, αν 100 επιβεβαιωμένοι μη φορείς κάνουν το τεστ και βγουν αρνητικοί οι 97, τότε η ειδικότητα του τεστ είναι 0,97 ή 97%.

Τέλος, η πιθανότητα P(Β|Α΄) στο (4) αποτελεί το ποσοστό των ψευδών -άκυρων- θετικών τεστ, ή αλλιώς των False Positives, σε μη φορείς. Για παράδειγμα, αν 100 επιβεβαιωμένοι μη φορείς κάνουν το τεστ και βγουν θετικοί οι 3, τότε η πιθανότητα False Positives είναι 0,03 ή 3%.

Η παρακάτω εικόνα από τη Βίκι αποδίδει παραστατικά τις παραπάνω έννοιες, χωρίς, ωστόσο, κάποια κλίμακα στα μεγέθη αυτά:

Δυστυχώς, πολλοί, ακόμη και ειδικοί, ταυτίζουν την PPV με την ευαισθησία και την NPV με την ειδικότητα. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Αν ένα σελφ τεστ με ευαισθησία 90% μας βγάλει θετικό αποτέλεσμα, αυτό δεν σημαίνει ότι είμαστε φορείς κατά 90%. Αντίστοιχα και για την περίπτωση του αρνητικού τεστ και της ειδικότητας. Αυτό που μας ενδιαφέρει και μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε είναι οι PPV και NPV, αντίστοιχα, χρειάζεται, όμως, να έχουμε και το ποσοστό των φορέων στον πληθυσμό.

Μέχρι στιγμής, έχουν πέσει στα χέρια μου δύο σελφ τεστ από αυτά που διαθέτουν δωρεάν τα φαρμακεία: ένα της Roche (νοτιοκορεατικό) και ένα της JoysBio (κινεζικό).  

Στα συνοδευτικά φυλλάδια και των δύο μπορούμε να εντοπίσουμε κατάλληλους πίνακες των κλινικών δοκιμών (σε κλινικό κέντρο του Βερολίνου, και νοσοκομείο της Ιταλίας, μεταξύ Οκτ. 2020 και Ιαν. 2021, αντίστοιχα), βάσει των οποίων υπολογίστηκαν οι ονομαστικοί τους δείκτες ευαισθησίας και ειδικότητας:

Τεστ RocheΦορείς
(βάσει PCR)
Μη Φορείς
(βάσει PCR)
ΣύνολοΦορείς
(βάσει PCR)
Μη Φορείς
(βάσει PCR)
Θετικό τεστ8548983,33%0,92%
Αρνητικό τεστ1743144816,67%99,08%
Σύνολο102435537100%100%
Κλινικές δοκιμές Roche
  Τεστ JoysBioΦορείς
(βάσει PCR)
Μη Φορείς
(βάσει PCR)
ΣύνολοΦορείς
(βάσει PCR)
Μη Φορείς
(βάσει PCR)
Θετικό τεστ105310898,13%0,78%
Αρνητικό τεστ23823841,87%99,22%
Σύνολο107385492100%100%
Κλινικές δοκιμές JoysBio

Από τους πίνακες φαίνεται ότι τα δύο αυτά τεστ έχουν πολύ υψηλούς δείκτες ειδικότητας (99,08% της Roche, και 99,22% της JoysBio, ενώ διαφέρουν σημαντικά στην ευαισθησία, με της Roche στο 83,33% έναντι του 98,13% της JoysBio. Σημειώστε εδώ δύο ακόμη πράγματα:

  • Στον ιστότοπο της Roche αναφέρεται μία πολύ υψηλότερη ευαισθησία, 90,6%, και λίγο χαμηλότερη ειδικότητα, 98,6%, όμως οι πίνακες στο φυλλάδιο της Roche δίνουν τους αριθμούς παραπάνω, άρα πιθανόν πρόκειται για συνώνυμο, αλλά διαφορετικό τεστ, ή με επικαιροποιημένα στοιχεία δοκιμών.
  • Αντίστοιχα, για της JoysBio, βρίσκουμε να προβάλλεται η ακρίβεια (accuracy) 98,98%, όμως ο δείκτης αυτός δεν είναι χρήσιμος στη συζήτηση αυτή.

Είναι λογικό να θεωρήσει κανείς το δεύτερο τεστ καλύτερο, όμως ο δείκτης που ενδιαφέρει για να μπορεί κανείς να πάει με σιγουριά ότι δεν είναι ασυμπτωματικός φορέας του κορονοϊού στη δουλειά του είναι η ειδικότητα, και σε αυτόν και τα δύο τεστ εμφανίζονται πολύ αποτελεσματικά. Φυσικά, πάντοτε πρέπει να έχει κανείς επιφυλάξεις για την ακρίβεια των εκτιμήσεων και την αντικειμενικότητα των κλινικών δοκιμών.

Ας δούμε όμως, πώς οι παραπάνω δείκτες επιτρέπουν να υπολογίσουμε τις εκ των υστέρων πιθανότητες να είναι κανείς φορέας ή όχι του ιού, έχοντας το αποτέλεσμα του σελφ τεστ. Θα πρέπει να μεταφερθούμε προσωρινά μερικούς αιώνες πίσω.

Τον 18ο αιώνα, ο Εγγλέζος μαθηματικός και κληρικός Thomas Bayes (Τόμας Μπέιζ), απέδειξε το ομώνυμο θεώρημά του, το οποίο μας επιτρέπει να υπολογίσουμε μια a posteriori πιθανότητα P(Α|Β), βάσει του τύπου:

P(A|B)=\frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}

Το θεώρημα μας επιτρέπει για ένα ενδεχόμενο Α, ξεκινώντας από μια αρχική, a priori, πιθανότητα P(Α), να υπολογίσουμε την εκ των υστέρων, υπό συνθήκη, a posteriori, πιθανότητά του, έχοντας γνώση του ενδεχόμενου Β, και εφόσον γνωρίζουμε τις πιθανότητες P(Β|Α) και P(Β)· η τελευταία φυσικά είναι μη μηδενική. Βλέπουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα P(Α|Β) είναι ανάλογη της P(Α), δηλαδή, αυξάνεται ή μειώνεται αναλογικά με αυτήν. Το θεώρημα Μπέιζ δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να αποδειχθεί, αλλά αρκετά μεγάλο είναι ήδη το ποστ.

Ας ξαναγυρίσουμε στον κορονοϊό και τα σελφ τεστ. Ας επιχειρήσουμε να ξαναγράψουμε στα συμφραζόμενά μας, το θεώρημα Μπέιζ (παρατάω την προσπάθεια για latex με τον άθλιο -αν θες να γράφεις ελληνικά- συντάκτη της πόρσε):

Όπως είπαμε παραπάνω, στον αριθμητή η πιθανότητα P(αρνητικό τεστ|μη φορέας) είναι ακριβώς η ειδικότητα του τεστ. Η εκ των προτέρων πιθανότητα P(μη φορέας), δηλαδή, το ποσοστό του πληθυσμού που δεν είναι φορείς, προφανώς ισούται με 1-P(φορέας), και αυτό το ποσοστό του πληθυσμού που είναι φορείς του κορονοϊού, είτε το γνωρίζουν είτε όχι, είναι ο άγνωστος που ελπίζαμε όλοι ότι μετά από 15 μήνες θα είχε πλέον εκτιμηθεί ικανοποιητικά. Μπορούμε να τον ταυτίσουμε με τον επιπολασμό (prevalence), εκτός αν λάβουμε υπόψη ότι με το πέρασμα του χρόνου κάποιοι παύουν να αποτελούν κρούσματα, ή κάποιοι λιγότεροι ξαναγίνονται κρούσματα. Ας ξαναγράψουμε τον αριθμητή:

Ο παρονομαστής περιλαμβάνει όλους όσους είχαν αρνητικό τεστ και αποτελείται από δύο μέρη. Το ένα μέρος είναι ο αριθμητής, όλοι δηλαδή οι μη φορείς που είχαν αρνητικό τεστ. Σε αυτούς θα πρέπει να προσθέσουμε και όλους αυτούς που είχαν ψευδές αρνητικό τεστ, τους False Negatives φορείς, δηλαδή. Οι τελευταίοι θα προκύψουν από το γινόμενο της συμπληρωματικής πιθανότητας της ευαισθησίας επί το ποσοστό των φορέων:

Έτσι ο παραπάνω υπολογισμός θα γίνει:

Αυτός είναι ο τύπος που μας υπολογίζει την NPV και μας επιτρέπει να πάμε με υψηλό ή όχι αίσθημα ασφάλειας στην εργασία μας, έχοντας αρνητικό σελφ τεστ.

Πράγματι, και για τα δύο τεστ που αναφέραμε οι αριθμοί και τα μαθηματικά είναι στο πλευρό μας, έστω και με άγνωστο το ποσοστό των φορέων στον πληθυσμό. Στον πίνακα, παρακάτω, κάνουμε τον υπολογισμό για διαφορετικές τιμές του ποσοστού αυτού:

Ποσοστό φορέων
στον πληθυσμό
ΤεστΕυαισθησίαΕιδικότηταNPV
1%R83,33%99,08%99,83%
1%J98,13%99,22%99,98%
2%R83,33%99,08%99,66%
2%J98,13%99,22%99,96%
5%R83,33%99,08%99,12%
5%J98,13%99,22%99,90%
10%R83,33%99,08%98,17%
10%J98,13%99,22%99,79%

Τι συμβαίνει όμως με την αξιοπιστία των δύο σελφ τεστ στην περίπτωση θετικού αποτελέσματος; Πόσο σίγουρος μπορεί να είναι κανείς ότι αποτελεί φορέα, προφανώς ασυμπτωματικό, αν δει την κρίσιμη γραμμούλα στη σχετική ένδειξη;

Και πάλι ο αιδεσιμώτατος Μπέιζ μας έχει την απάντηση. Θα δούμε ότι η σιγουριά είναι πολύ μικρότερη από πριν.

Θα ξαναγράψουμε το θεώρημα Μπέιζ στα νέα συμφραζόμενά μας:

Στον αριθμητή τώρα η πιθανότητα P(θετικό τεστ|φορέας) είναι ακριβώς η ευαισθησία του τεστ. Για την εκ των προτέρων πιθανότητα P(φορέας) συζητήσαμε παραπάνω. Ας ξαναγράψουμε τον αριθμητή:

Ο παρονομαστής περιλαμβάνει όλους όσους είχαν θετικό τεστ και αποτελείται από δύο μέρη. Το ένα μέρος είναι ο αριθμητής, όλοι δηλαδή οι φορείς που είχαν θετικό τεστ. Σε αυτούς θα πρέπει να προσθέσουμε και όλους αυτούς που είχαν ψευδές θετικό τεστ, τους False Positives φορείς, δηλαδή. Οι τελευταίοι θα προκύψουν από το γινόμενο της συμπληρωματικής πιθανότητας της ειδικότητας επί το ποσοστό των μη φορέων:

Έτσι ο παραπάνω υπολογισμός θα γίνει:

Αυτός είναι ο τύπος που υπολογίζει την PPV, και μας λέει πόσο σίγουροι μπορούμε να είμαστε ότι είμαστε φορείς, μετά από ένα θετικό σελφ τεστ.

Στον πίνακα παρακάτω, στη στήλη PPV (+ Τεστ), δηλαδή για την εγκυρότητα του 1ου θετικού τεστ, θα δούμε ότι έχουμε σημαντικές διαφοροποιήσεις μεταξύ των δύο σελφ τεστ. Μάλιστα, μεταξύ όσων αρέσκονται να παραμένουν πάντα στην πλευρά της αμφισβήτησης, αυτοί ακριβώς οι αριθμοί είναι που επικαλούνται για να υποστηρίξουν ότι τα σελφ τεστ υπάρχουν για να γεμίζουν τις τσέπες αυτών που τα παράγουν και μόνο. «Τι νόημα έχει να μάθεις ότι κατά 48% ή 56% μπορεί να είσαι φορέας;», λένε. «Το ίδιο μπορείς να μάθεις και στρίβοντας κορώνα-γράμματα ένα κέρμα»:

Ποσοστό φορέων
στον πληθυσμό
ΤεστΕυαισθησίαΕιδικότηταPPV
(+Τεστ)
PPV
(++Τεστ)
NPV
(+-Tεστ)
1%R83,33%99,08%47,79%98,81%86,66%
1%J98,13%99,22%55,99%99,38%97,66%
2%R83,33%99,08%64,91%99,41%76,27%
2%J98,13%99,22%71,99%99,69%95,38%
5%R83,33%99,08%82,67%99,77%55,48%
5%J98,13%99,22%86,89%99,88%88,90%
10%R83,33%99,08%90,97%99,89%37,12%
10%J98,13%99,22%93,33%99,94%79,14%

Η υγειονομική οδηγία, λοιπόν, είναι να κάνεις άλλο ένα σελφ ράπιντ (και όχι μοριακό) τεστ «σε επαγγελματία υγείας». Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι αυτό είναι ίδιας ευαισθησίας και ειδικότητας με το σελφ τεστ. Αυτό το δεύτερο τεστ μπορεί να προκύψει είτε θετικό, είτε αρνητικό. Και αν αυτό είναι θετικό, τότε πράγματι υπάρχει σχεδόν η βεβαιότητα ότι ο ιός είναι μέσα μας (όπως φαίνεται στην προτελευταία στήλη PPV (++Τεστ), που δείχνει την εγκυρότητα μετά από 2 διαδοχικά θετικά τεστ). Η διαφοροποίηση προκύπτει ακριβώς από την μεταβολή στην εκ των προτέρων πιθανότητα. Στην περίπτωση που το πρώτο μας τεστ ήταν θετικό, στο δεύτερο, στο θεώρημα Μπέιζ θα πάρουμε ως εκ των προτέρων πιθανότητα να είμαστε φορείς, την εκ των υστέρων πιθανότητα που μας έδωσε η εφαρμογή του θεωρήματος την πρώτη φορά, έτσι αντί για το 1 ή 2%, θα ξεκινήσουμε από το 48 ή το 72%.

Το ίδιο θα κάνουμε και για να υπολογίσουμε πόσο έγκυρο είναι το αποτέλεσμα του 2ου (ράπιντ) τεστ, αν είναι αρνητικό. Μπορούμε με την ίδια σιγουριά της αποδοχής των 2 θετικών τεστ, ή της αυτοπεποίθησης του 1ου αρνητικού, να επιστρέψουμε στην εργασία μας; Όπως φαίνεται στην τελευταία στήλη NPV (+-Τεστ), οι αριθμοί για αληθές αρνητικό 2ο σελφ τεστ, μετά από 1ο θετικό, δεν είναι τόσο ισχυροί όσο στο αληθές αρνητικό 1ο σελφ τεστ (τελευταία στήλη NPV προτελευταίου πίνακα). Επιπλέον φαίνεται και πάλι ότι υπάρχει αξιόλογη διαφοροποίηση μεταξύ των δύο τεστ. Πολύ δε περισσότερο λιγότεροι σίγουροι θα είμαστε αν δεν γνωρίζουμε για το ράπιντ τεστ την ευαισθησία και ειδικότητα· υπάρχει περίπτωση να ρωτήσουμε τον «επαγγελματία υγείας» και να μας πει σωστά;

Όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω, αυτό ακριβώς που οι ιθύνοντες μπορούν να αντιπαραθέσουν στον παραπάνω σκεπτικισμό για την σκοπιμότητα των σελφ τεστ, είναι η περίπτωση του αρνητικού 1ου τεστ, η αξία και χρησιμότητα του NPV, δηλαδή: «Κάνουν όλοι οι εργαζόμενοι (κι οι μαθητές στα σχολεία) το σελφ τεστ για να πηγαίνουν στη δουλειά με σιγουριά ότι δεν θα υπάρχουν φορείς εκεί».

Πράγματι, όπως φάνηκε στον προτελευταίο πίνακα, και τα δύο τεστ μας οπλίζουν με μια τέτοια σιγουριά, σχεδόν βεβαιότητα, ότι δεν είμαστε φορείς, και ότι ούτε θα συναντήσουμε τέτοιους συναδέλφους. Μάλιστα, ακόμη και οι εύλογες υποψίες για την αντικειμενικότητα και τη συνέπεια κλινικών δοκιμών που οδηγούν σε ευαισθησίες και ειδικότητες του 99%, αντικρούονται αν εφαρμόσει κανείς το θεώρημα Μπέιζ και για μικρότερες τιμές ευαισθησίας και ειδικότητας και καταλήξει σε επίσης αξιόπιστες υψηλές πιθανότητες για τα αληθή αρνητικά πρώτα σελφ τεστ.

Από την άλλη πλευρά, βέβαια, απαντάει κανείς: «Ε, και; Όταν στον πληθυσμό 1 ή 2 ή 5 στους 100 είναι φορείς, και χωρίς τεστ είμαι κατά 95 ή 99% μη φορέας κι εγώ».

Τελικά, για όποιον κατάφερε να φτάσει ως εδώ, έκανα καλά που κοντεύω τις 3.000 λέξεις;

Όλα τα παιδιά στην αίθουσα!

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/SARS-CoV-2_without_background.png/220px-SARS-CoV-2_without_background.pngΘεώρημα
Μια σχολική τάξη με ν μαθητές είναι ασφαλής, οι μαθητές δεν κολλάνε ο ένας τον άλλον, για κάθε ν > 0.

Απόδειξη
Για ν = 1 είναι προφανές ότι ένας μαθητής δεν κολλάει τον εαυτό του, άρα η τάξη είναι ασφαλής.

Έστω ότι οποιαδήποτε τάξη με κ μαθητές είναι ασφαλής, και κανένας μαθητής δεν κολλάει άλλους. Θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε τάξη με κ+1 μαθητές είναι επίσης ασφαλής.

Από την τάξη με τους κ+1 μαθητές αφαιρούμε έναν μαθητή, έστω τον μικρό Γκίκα. Είναι προφανές, βάσει της υπόθεσης, ότι οι κ μαθητές που απομένουν δεν κολλούν μεταξύ τους, σχηματίζοντας ασφαλή τάξη με κ μαθητές. Συνεπώς αν η τάξη των κ+1 μαθητών δεν είναι ασφαλής, πηγή μετάδοσης δεν μπορεί παρά να είναι ο Γκίκας. Ας επιστρέψουμε τον μικρό Γκίκα στην τάξη, και αντί για αυτόν, ας αφαιρέσουμε τώρα την Ελενίτσα. Είναι και πάλι προφανές, βάσει της υπόθεσης, ότι οι κ μαθητές που απομένουν δεν κολλούν μεταξύ τους, σχηματίζοντας ασφαλή τάξη με κ μαθητές. Όμως μέσα σε αυτήν την τάξη είναι και ο Γκίκας, άρα αποκλείεται να αποτελεί αυτός πηγή μετάδοσης. Η Ελενίτσα δε, που θα έπρεπε να είναι τώρα αυτή η πηγή, στην περίπτωση που η τάξη των κ+1 μαθητών δεν είναι ασφαλής, ξέρουμε ότι προέρχεται από μια ασφαλή τάξη των κ μαθητών, άρα ούτε αυτή αποτελεί πηγή μετάδοσης.

Καθώς ο Γκίκας και η Ελενίτσα αποτελούν μαθητές της τάξης που επιλέχθηκαν τυχαία, συμπεραίνουμε ότι και οποιαδήποτε τάξη με κ+1 μαθητές είναι ασφαλής, ο.ε.δ.

Λήμμα 1: Ούτε σε γάμους και πανηγύρια κολλάει
Λήμμα 2: Ούτε το κουταλάκι κολλάει
Λήμμα 3: Μια επιτροπή ν σοφών απαρτίζεται από λακέδες, για κάθε ν > 0.

Βιβλιογραφία
Wikipedia (2020). Mathematical induction. Πρόσβαση στο https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction στις 30/8/2020, 13:00.
Łukowski, Piotr (2011). All horses are the same color. Paradoxes. Springer. pp. 15.

Σημ: Η έρευνα υποστηρίχθηκε από τα εκλεκτορικά σώματα κορυφαίου πανεπιστημίου.
Για τις δικές σας χορηγίες, ζητήστε μας το IBAN.

 

Διατεταγμένη αποστολή

[Ορίστε, το μπλογκ ζει!] Αφήνω εδώ ένα σχόλιο που ακόμα είναι στη σπαμοπαγίδα για εκεί που γράφτηκε. Με την ευκαιρία, συμπληρώνω λίγα πράγματα:

1. Αν κάποιος έχει πάρει τη φυλλάδα της «πρώτης Κυριακής μετά την του Χριστού Γέννησιν», θα εκτιμούσα να δούμε μια φωτογραφία του έντυπου άρθρου, για να συγκρίνουμε με ό,τι απέμεινε ονλάιν.

2. Αυτό που είναι ονλάιν, άλλαξε 2-3 φορές (σταμάτησα να το παρακολουθώ, δεν ξέρω ακριβώς).
Η αρχική εισαγωγή στο ανυπόγραφο άρθρο είναι τερατούργημα επιχειρηματολογίας https://pbs.twimg.com/media/EM-FZLHXsAAZeuP.jpg και https://pbs.twimg.com/media/EM-FZs_WwAIgSEi.jpg (λογικά, έχει μείνει στην έντυπη εκδοχή):

Ημέρα του αγέννητου παιδιού: Δεν έχει περάσει πολύς καιρός που οι οπαδοί της Ουνιόν Βερολίνου στο πρώτο παιχνίδι της αγαπημένης ομάδας τους στην Bundesliga «έφεραν» [sic τα εισαγωγικά] μαζί τους στο γήπεδο τις φωτογραφίες των νεκρών οπαδών της Ουνιόν. Ανατριχίλα.

Ηλικιωμένες γυναίκες κρατούσαν στα χέρια τους φωτογραφίες των ανδρών τους, άνδρες των γυναικών τους, μάνες και πατεράδες τραγουδούσαν τα συνθήματα της ομάδας τους με τις φωτογραφίες των νεκρών παιδιών τους στα χέρια.

Συνθήματα που και αυτοί που έφυγαν από τον μάταιο τούτο κόσμο τραγουδούσαν όταν βρίσκονταν στις εξέδρες του γηπέδου της Ουνιόν. Όλους αυτούς τους συνέδεε η αγάπη τους προς την ίδια ομάδα και ένα όνειρο που δεν στάθηκαν τυχεροί να το ζήσουν.

Να δουν την Ουνιόν στην Α’ κατηγορία του γερμανικού ποδοσφαίρου. Πόσοι πατεράδες δεν θα ήθελαν να πανηγυρίσουν ένα γκολ της ομάδας τους αγκαλιά με το παιδί τους. Αγκαλιά με τον γιο ή την κόρη τους.

Πόσοι πατεράδες δεν έχουν πανηγυρίσει στην Ελλάδα τα γκολ τις [sic] αγαπημένης τους ομάδας αγκαλιά με τα παιδιά τους γιατί δεν γεννήθηκαν ποτέ; Πόσοι; Με μία πρόχειρη ματιά στα…

Η βλακεία σχολιάστηκε στα μέσα, οπότε, πολύ απλά, αφαιρέθηκε, ενώ μπήκε ξαφνικά και υπογραφή

Παράλληλα προέκυψε και εντιτόριαλ, όπου για 350.000 εκτρώσεις με μέσο κόστος 400 ευρώ ανά έκτρωση, ο πολλαπλασιασμός του έβγαζε 200 εκατομμύρια ευρώ. Πάλι επισημάνθηκε στα μκδ, όποτε χαλαρά αφαιρέθηκε όλη η πρόταση! Όταν επισημάνθηκε στα μκδ ότι ο εξωφρενικός υπολογισμός παραμένει στο κύριο άρθρο, τότε πολύ απλά, προστέθηκε η φράση «μαζί με τα όποια επιπλέον έξοδα».

Κι από πάνω, ο κύριος επικαλέστηκε και τον ψευδοβολταίρο, να μπορεί να γράφει και να σβήνει ό,τι θέλει…

Και πολύ δεν ασχοληθήκαμε;

3. Άραγε τι μέρα του αγέννητου παιδιού είναι αυτή; Όχι φυσικά διεθνής, γιατί (α) αυτή είναι στις 25 Μαρτίου που άλλα γιορτάζουμε εμείς και (β) είναι του διαβολικού Πάπα! Τι σχέση έχει η ορθοδοξία με αιρετικούς; Άλλωστε, σε καταπιεσμένους της Λατινικής Αμερικής καθιερώθηκε αυτή. Τι είμαστε εμείς; μπανανία; Εμείς έχουμε από φέτος τη δικιά μας, την ατόφια, εκάστην πρώτη Κυριακήν μετά την του Χριστού Γέννησιν. Είπαμε, κα-νο-νι-κό-τη-τα! Προτείνω από του χρόνου, να γράφουν και τα παιδιά έκθεση σε σχετικό διαγωνισμό.

Ποιοι είναι αυτοί οι afistemenaziso, των οποίων οι προτάσεις γίνονται πανηγυρικά δεκτές από την Ιερά Σύνοδο; Γνωστοί και μη εξαιρετέοι. Το τηλέφωνο επικοινωνίας, είναι σ’ αυτούς:ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΑ ΕΝΩΣΗ ΦΙΛΩΝ ΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΚΝΩΝ (ΜΗ ΚΥΒΕΡΝΗΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ)- ΠΕΦΙΠ, Ακαδημίας 78Δ & Κιάφας, 10678 Αθήνα, 210-3802615, 210-3838496, Fax: 210-3839509 http://www.pefip.gr pefip@otenet.gr

Άλλη μία «οργάνωση», μη κυβερνητική, υποθέτω, νάχουμε και φορολογικές ατέλειες. Φάντασμα, φυσικά, σκέτο ένα τεμπλέιτ της πόρσε, με όλες τις βιωματικές ιστορίες, δανεισμένες από ψεκασμένους αμερικανούς. Ναι, αλλά, συνομιλητής της εκκλησίας, του κράτους, της Κεραμέως…

afistemenaziso

Φαντάζομαι θαυμάσατε και το Γιάννης κερνάει, Γιάννης πίνει, μεταξύ του παπαδαριού…

4. Για τους αριθμούς, ενδιαφέροντα νήματα είναι και αυτό https://twitter.com/manchurian/status/1212404257116299265 κι αυτό https://twitter.com/EmmanuelSchizas/status/1211362836846432257

Α, και καθόλου παπαδοπαίδι αυτός ο διευθυντής. Τι, γίνεται και με την εκκλησία, και με το στοιχηματισμό, και με τις φυλλάδες των χούλιγκαν; Αχυράνθρωπος σε άλλη μία διατεταγμένη αποστολή.

 

Η υποτιθέμενη θέληση των λαών της Ε.Ε. και η ρύθμιση της ώρας

Η μοναδική μέχρι τώρα επίσημη ανακοίνωση της διαβούλευσης (προσοχή όχι δημοψηφίσματος, αλλά διαβούλευσης, από αυτές που σνομπάρουμε γενικώς) λέει ρητά:

Summertime Consultation: 84% want Europe to stop changing the clock

Παρότι ρητά, επίσης, αναφέρεται ότι πρόκειται για προκαταρκτικά αποτελέσματα, η αρμόδια Σλοβένα Επίτροπος Μεταφορών, ο Γιουνκέρ, τα ΜΜΕ και διάφοροι άλλοι έτρεξαν να σπεκουλάρουν με την υποτιθέμενη «θέληση των λαών της ΕΕ». Τρίχες κατσαρές για να μην πω τίποτε βαρύτερο! Ας δούμε τα στοιχεία που μας ανακοίνωσε η Ε.Ε.

Πρώτα-πρώτα, πουθενά δεν λέει ότι η «θέληση» είναι για παραμονή της θερινής ώρας. Αντιθέτως, αναφέρεται στην κατάργηση της εναλλαγής χειμερινής-θερινής.

Δεύτερον και κυριότερο. Στους αριθμούς που ανακοινώθηκαν δεν υπάρχει απολύτως καμία στάθμιση. Στην ουσία πρόκειται για μια διαβούλευση Γερμανών (με ολίγη από Γάλλους και Αυστριακούς).

Τα 82,8 εκ. των Γερμανών αποτελούν το 16,18% «των λαών της Ε.Ε.», συμπεριλαμβανομένου του Ηνωμένου Βασιλείου που πήρε μέρος στη διαβούλευση. Ανακοινώθηκε ότι στη διαβούλευση πήρε μέρος το 3,79% των Γερμανών, κάπου 3.138.120. Συνολικά, μας λένε ότι πήραν μέρος 4,3 εκ. πολίτες της Ε.Ε., η σούμα που έκανα εγώ τους βγάζει περισσότερους: 4.548.425. Δηλαδή, ανά 1.000 συμμετέχοντες οι 690 ήταν Γερμανοί, υπερτετραπλάσιοι από την αναλογία του πληθυσμού τους στην Ε.Ε., ή, αν η βούληση κάθε κράτους έχει 1/28 ισχύ, τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη! Από τους Γερμανούς αυτούς, μας λένε ότι το 84%, ή οι 2.636.021 σε απόλυτους αριθμούς, προτιμούν την κατάργηση της εναλλαγής της ώρας. Δηλαδή, οι 69 στους 100 που ζητούν στη διαβούλευση να μην αλλάζει η ώρα είναι Γερμανοί! Οι υπόλοιποι 31 είναι 9 Γάλλοι, 5 Αυστριακοί, 3 Πολωνοί, 2 Ισπανοί, και 11 και μισός όλοι οι υπόλοιποι 23. Περιττεύει νομίζω η οπτικοποίηση σε πίτα…

Δεν μπήκα καν στον κόπο να μεταφέρω σε πίνακα το δεύτερο γράφημα. Παραθέτω τον πίνακα με τα πλήρη στοιχεία των παραπάνω. Τα στοιχεία που πήρα από την ανακοίνωση της Ε.Ε. είναι η 4η στήλη (Συμμ % Πληθ) και η 7η στήλη (Κατάργ %). Οι πληθυσμοί είναι από τη Βικιπαιδεία:

ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ
Χώρα Πληθ 2017 % πληθ ΕΕ Συμμ % Πληθ Συμμ Απολ Ανά 1000 συμμ Κατάργ % Κατάργ απολ % συν καταργ
Γερμανία 82.800.000 16,18 3,79 3.138.120 690 84 2.636.021 69,2
Γαλλία 67.210.459 13,10 0,59 396.542 87 84 333.095 8,7
Αυστρία 8.772.865 1,71 2,94 257.922 57 77 198.600 5,2
Πολωνία 37.972.964 7,42 0,34 129.108 28 95 122.653 3,2
Ισπανία 46.528.966 9,09 0,19 88.405 19 93 82.217 2,2
Βέλγιο 11.365.834 2,22 0,55 62.512 14 84 52.510 1,4
Τσεχία 10.610.055 2,07 0,59 62.599 14 83 51.957 1,4
Φινλανδία 5.503.297 1,08 0,96 52.832 12 90 47.548 1,2
Σουηδία 9.995.153 1,95 0,48 47.977 11 88 42.220 1,1
Πορτογαλία 10.309.573 2,01 0,33 34.022 7 85 28.918 0,8
Σλοβακία 5.435.343 1,06 0,60 32.612 7 80 26.090 0,7
Ολλανδία 17.081.507 3,34 0,16 27.330 6 79 21.591 0,6
Κροατία 4.154.213 0,81 0,52 21.602 5 90 19.442 0,5
Ουγγαρία 9.797.561 1,91 0,21 20.575 5 90 18.517 0,5
Ελλάδα 10.757.293 2,10 0,34 36.575 8 44 16.093 0,4
Ιταλία 60.589.445 11,84 0,04 24.236 5 66 15.996 0,4
Σλοβενία 2.065.895 0,40 0,73 15.081 3 87 13.120 0,3
Ηνωμένο Βασίλειο 65.808.573 12,86 0,02 13.162 3 82 10.793 0,3
Βουλγαρία 7.101.859 1,39 0,18 12.783 3 84 10.738 0,3
Εσθονία 1.315.635 0,26 0,94 12.367 3 85 10.512 0,3
Ιρλανδία 4.774.833 0,93 0,24 11.460 3 88 10.084 0,3
Λιθουανία 2.847.904 0,56 0,34 9.683 2 91 8.811 0,2
Λουξεμβούργο 590.667 0,12 1,78 10.514 2 79 8.306 0,2
Λετονία 1.950.116 0,38 0,39 7.605 2 85 6.465 0,2
Ρουμανία 19.638.309 3,84 0,04 7.855 2 78 6.127 0,2
Δανία 5.748.769 1,12 0,11 6.324 1 81 5.122 0,1
Κύπρος 854.802 0,17 0,88 7.522 2 47 3.535 0,1
Μάλτα 440.433 0,09 0,25 1.101 0,2 54 595 0,0
ΣΥΝΟΛΟ 512.022.323 100 0,66 4.548.425 1.000 84 3.807.676 100

Επί τούτου, δεν αναφέρθηκα καθόλου στο πανηγύρι, τη φασαρία, τον τζίρο και την κερδοσκοπία που θα έφερνε μια τέτοια αλλαγή σε ενσωματωμένα ή όχι υπολογιστικά συστήματα, αντίστοιχη ίσως με το «πρόβλημα του έτους 2000», ή το επερχόμενο του 2038. Η κίνηση των αγορών παραμένει πάντα ένας καλός λόγος για αλλαγές.

Και μια άλλη παράμετρος είναι οι μπούρδες που θα αναπαραχθούν πάλι για τα καλά και κακά που φέρνει η αλλαγή ή η διατήρηση της ώρας, και ποιας ακριβώς, της κοντινής στην αστρονομική, που είναι η χειμερινή, ή της θερινής. Θεωρίες συνωμοσίας που θα δούμε πάλι.

the show must go on

ΕΣΠΕΡΙΝΗ ΘΕΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΕΒΑΣΜΙΩΤΑΤΟ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗ ΜΑΡΩΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ κ. ΠΑΝΤΕΛΕΗΜΟΝΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ…
56 photos · 781 views

Μικρή συμβολή στη λέξη της χρονιάς 2016

αυτάριστος -η -ο [aftáristos] Ε5 : α.(κυρ. για πρόσ.) που του αρέσει να θαυμάζει την υποτιθέμενη αριστεία του· ο μέσα στη γυάλα του κόπανος: Aυτάριστη επίτροπος. β. (για τρόπο, συμπεριφορά, εκδήλωση κτλ.) που επιδίδεται στην απάτη, προβάλλοντας την ανύπαρκτη αριστεία του: Aυτάριστο ύφος. Οι αυτάριστες κινήσεις του τον έκαναν Αναπληρωτή Διοικητή του Δρομοκαΐτειου. αυτάριστα ΕΠIΡΡ με τρόπο αυτάριστο: Xαμογελούσε ~.

[λόγ. < ελνστ. αὐτ(ο)άριστος]

 

Επιτυχόντες 2016 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ νομού Ηρακλείου

Επιτυχόντες 2016 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ Νομού ΗρακλείουΤο ιστολόγιο κοντεύει να καταντήσει πίνακας ανακοινώσεων αποτελεσμάτων και μόνο, ας το κρατήσουμε κι αυτό όσο αντέχουμε…

Όπως ακριβώς και πέρσι, Τετάρτη αντί Πέμπτη της τελευταίας εβδομάδας του Αυγούστου και φέτος τα αποτελέσματα. Δείτε, λοιπόν, το φετινό έγκυρο ενιαίο αλφαβητικό πίνακα με τους επιτυχόντες 2016 του νομού Ηρακλείου σε ΑΕΙ και ΤΕΙ, για όλες τις κατηγορίες εισαγωγής, μαζί και τα σχολεία τους, ή τον ίδιο πίνακα κατά σχολείο. Δείτε, επιπλέον, συγκεντρωτικούς πίνακες για όλα τα σχολεία του νομού.

Νέο σύστημα φέτος για τους φετινούς απόφοιτους, παλιό σύστημα ή νέο, για όσους ξαναπροσπάθησαν, κι από κοντά οι απόφοιτοι που εισάγονται χωρίς συμμετοχή στις φετινές εξετάσεις, με δήλωση της περσινής ή προπέρσινης βαθμολογίας τους (το λεγόμενο 10%), χωριστά κατά χρονιά αποφοίτησης (το 6% από το 2015 και το 4% από το 2014).
περισσότερα…

Επιτυχόντες 2015 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ νομού Ηρακλείου

Επιτυχόντες 2015 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ Νομού ΗρακλείουΜια μέρα νωρίτερα φέτος τα αποτελέσματα, Τετάρτη αντί Πέμπτη της τελευταίας εβδομάδας του Αυγούστου. Δείτε, λοιπόν, το φετινό έγκυρο ενιαίο αλφαβητικό πίνακα με τους επιτυχόντες 2015 του νομού Ηρακλείου σε ΑΕΙ και ΤΕΙ, για όλες τις κατηγορίες εισαγωγής, μαζί και τα σχολεία τους, ή τον ίδιο πίνακα κατά σχολείο. Δείτε, επιπλέον, συγκεντρωτικούς πίνακες για όλα τα σχολεία του νομού.

Από πέρσι δεν έχουμε ειδικές περιπτώσεις εισαγωγής, ενώ οι απόφοιτοι που εισάγονται χωρίς συμμετοχή στις φετινές εξετάσεις, με δήλωση της περσινής ή προπέρσινης βαθμολογίας τους (το λεγόμενο 10%), έχουν ανακοινωθεί χωριστά κατά χρονιά αποφοίτησης (το 6% από το 2014 και το 4% από το 2013).
περισσότερα…

Charlie Hebdo

Originally posted on grep Alt:


Όλο το φιλμ ανεβασμένο από τον ίδιο το Γαβρά

View original

Originally posted on grep Alt:

Buddhas of Bamyan
Οι Βούδες της κοιλάδας Μπαμιιγιάν καταστράφηκαν με δυναμίτη το Μάρτιο του 2001 από Ταλιμπάν στο Αφγανιστάν, μετά από διαταγή του Μουλά Μοχάμεντ Ομάρ, καθώς θεωρήθηκαν «είδωλα». Χρειάστηκε ένας μήνας ανατινάξεων και βομβαρδισμών για να επιτευχθεί η καταστροφή.

O Υπουργός Πολιτισμού του Αφγανιστάν, κ. Ομάρ αλ-Σαρατζί, δήλωσε: «Ως γνήσιοι ΑΦγανοί έχουμε χρέος να πολεμούμε διαρκώς την προπαγάνδα των εχθρών. 1.500 χρόνια μετά, είμαστε πεπεισμένοι ότι ηθελημένη καταστροφή δεν υπήρξε ποτέ. Και, βεβαίως, δεν υπήρξε ανάμιξη του κλήρου, ή της πολιτείας. Το τότε αμερικανικό κανάλι CNN ψεύδεται, ως συνήθως. Συνεπώς είναι άκαιρο και άστοχο να υποδαυλίζουμε τώρα θρησκευτικές μισαλλοδοξίες. Εξάλλου, ναι, ήταν ειδωλολατρικά, συνεπώς αντιισλαμικά και αντιΑΦγανικά. Επίσης, το 1969 δεν πήγαμε στο φεγγάρι, το οποίο εξακολουθεί να γυρνάει τα βράδια γύρω από τη γη· όλα είχαν γίνει στην έρημο της Αριζόνα(ς) από τους Αμερικανούς. Τέλος, η Μακεδονία είναι Αφγανική, παρά τις -ζωή νάχουνε, ακόμη- Κασσάνδρες, το θυμόμαστε και 1.500 χρόνια…

View original


Επιτυχόντες 2014 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ νομού Ηρακλείου

Επιτυχόντες 2014 σε ΑΕΙ -ΤΕΙ νομού ΗρακλείουΔείτε και φέτος τον έγκυρο ενιαίο αλφαβητικό πίνακα με τους επιτυχόντες 2014 του νομού Ηρακλείου σε ΑΕΙ και ΤΕΙ, για όλες τις κατηγορίες εισαγωγής, μαζί και τα σχολεία τους, ή τον ίδιο πίνακα κατά σχολείο. Δείτε, επιπλέον, συγκεντρωτικούς πίνακες για όλα τα σχολεία του νομού.

Από φέτος δεν έχουμε τις ειδικές περιπτώσεις εισαγωγής, ενώ οι απόφοιτοι που εισάγονται χωρίς συμμετοχή στις φετινές εξετάσεις, με δήλωση της περσινής ή προπέρσινης βαθμολογίας τους, έχουν ανακοινωθεί χωριστά κατά χρονιά αποφοίτησης (2013 και 2012).
περισσότερα…

Ο Μπάμπης ο Σουγιάς…


…κι ο Νίκος ο Καζαντζάκης.

Θεωρώ ότι ο Νίκος ο Καζαντζάκης είναι ό,τι καλύτερο, συγγραφικά, και ποιητικά, έχουμε να δείξουμε…

Ross Daly:

Εάν ο μόνος τρόπος που μπορεί να σωθεί το Μουσείο Καζαντζάκη, στην ίδια τη γενέτειρά του, είναι με την αρωγή της ποδοσφαιρικής (και όχι μόνο) μαφίας, και όχι με τη συλλογική προσπάθεια του συνόλου του κρητικού λαού (και φτωχοί και πλούσιοι, ό,τι μπορεί ο καθένας), τότε δεν μας αξίζει ένας Νίκος Καζαντζάκης και ούτε ένα μουσείο αντίστοιχο. Αυτή η είδηση είναι πολύ μεγάλη ντροπή!